×9, la règle qui retire
Ce qui manque au chiffre pour aller à 10 ou à 9, plus le voisin.
Neuf vaut dix moins un. Le complément est un emprunt anticipé qui maintient chaque colonne positive, et le moins 1 final en est le solde.
La recette
- Rang 0 : 10 moins le chiffre. Rangs intermédiaires : 9 moins le chiffre, plus le voisin. Rang de tête : le voisin, moins 1.
Sur un exemple
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Pourquoi ça marche
Le produit par 9 s'écrit rang par rang comme le voisin moins le chiffre, quantité qui devient négative dès que le chiffre dépasse son voisin. On ajoute donc 10 à chaque rang et on retire 1 au rang supérieur, puisque 10 unités de rang j valent 1 unité de rang j plus 1.
Les deux mouvements s'annulent partout, sauf aux bords. Au rang 0, il n'y a pas de rang inférieur à rembourser, d'où le complément à 10. Aux rangs intermédiaires, ajouter 10 et rembourser 1 donne le complément à 9. Au rang de tête, il n'y a plus rien à emprunter, seulement à rembourser, d'où le moins 1.
La somme algébrique des ajouts et des retraits est nulle : la méthode ne triche pas, elle réordonne les emprunts pour qu'aucune colonne ne devienne négative.
L'erreur qu'on fait
Compléter au mauvais palier décale le résultat de 1 par colonne concernée, écart régulier donc invisible à l'œil et parfois transparent au contrôle par 9.
Retirer le 1 avant d'ajouter le report fait passer la dernière colonne sous zéro et casse la lecture, même quand le résultat final reste juste.
Le calcul en entier
Résultat : 434673.