Vérifier son résultat sans refaire le calcul
Le contrôle par 9 compare les restes modulo 9 des deux membres de l'égalité. Il ne valide pas un résultat, il en réfute un, et savoir exactement ce qu'il laisse passer fait partie de son usage.
La somme réduite
Additionne les chiffres, recommence jusqu'à obtenir un seul chiffre. On l'appelle aussi racine numérique. Pour 3425 : 14, puis 5.
Je le fais avec toi
Vérifions 3425 fois 7, résultat annoncé 23975.
Somme réduite de 3425 : 5. De 7 : 7. Produit 35, réduit à 8.
Somme réduite de 23975 : 26, réduit à 8. Les deux valent 8, le résultat n'est pas réfuté.
Pourquoi ça marche
Toute puissance de 10 laisse un reste de 1 dans la division par 9, puisque 10 vaut 9 plus 1, 100 vaut 99 plus 1, et ainsi de suite. Un nombre et la somme de ses chiffres ont donc le même reste modulo 9.
Comme le reste d'un produit est le produit des restes, l'égalité des sommes réduites est une condition nécessaire de justesse. Elle n'est pas suffisante, et c'est tout le sujet.
Ce que le contrôle ne voit pas, exactement
Une erreur passe si et seulement si elle est un multiple de 9. Sur une erreur quelconque, cela arrive environ une fois sur neuf.
Deux familles d'erreurs passent systématiquement. La confusion entre 0 et 9, qui modifie le nombre d'un multiple de 9 par construction. Et l'inversion de deux chiffres, qui change la valeur de la différence des deux chiffres multipliée par une différence de puissances de 10, toujours divisible par 9. Autrement dit : aucune transposition de chiffres n'est jamais détectée.
Vérifie-le : 23975 et 23795 diffèrent de 180, et 23975 et 23075 de 900.
Si tu veux fermer ce trou
Un contrôle par 11, fondé sur la somme alternée des chiffres, attrape les inversions de chiffres voisins, précisément celles que le contrôle par 9 laisse toujours passer. Les deux contrôles ensemble couvrent l'essentiel, au prix d'un calcul de plus, ce qui n'est justifié que sur un résultat qui compte vraiment.
Testeur
S'entraîner au contrôle
Pour chaque ligne, dis si le résultat annoncé passe le contrôle, ce qui n'est pas la même question que « le résultat est-il juste ». Deux lignes de la série passent le contrôle tout en étant fausses.
- 421 × 7 = 2947
- 449 × 7 = 3143
- 882 × 6 = 5293
- 922 × 2 = 1484
- 733 × 9 = 6597
- 463 × 8 = 3704
- 227 × 8 = 1817
- 368 × 8 = 2494
- 768 × 8 = 6144
- 856 × 9 = 7704