Le complément
Le complément est un emprunt fait d'avance, qui permet de soustraire chiffre par chiffre sans jamais passer sous zéro.
Quatre règles sur onze l'emploient : 9, 8, 4 et 3.
Repère à répéter : 10 dans la colonne des unités, 9 dans toutes les autres.
Je le fais avec toi
Multiplier par 9 revient à décaler d'un rang puis soustraire le nombre une fois. La soustraction rang par rang produit des valeurs négatives dès que le chiffre traité dépasse son voisin.
On l'évite en ajoutant 10 à chaque colonne, puis en retirant 1 à la colonne suivante, celle de gauche, puisqu'un 10 ajouté au rang j vaut exactement 1 au rang j plus 1. Les deux mouvements se compensent partout, sauf aux deux bords.
Pourquoi ça marche
Aux unités, la colonne ajoute 10 sans avoir rien à rembourser, puisqu'il n'y a pas de colonne à sa droite : d'où le complément à 10.
Au milieu, chaque colonne ajoute 10 pour elle-même et rembourse 1 pour celle de droite : ajouter 10 et retirer 1, c'est compléter à 9.
À la dernière colonne, il n'y a plus rien à ajouter, il ne reste qu'à rembourser : d'où le moins 1.
Pour le fois 8, tout est doublé, y compris le remboursement, qui vaut donc 2. Pour le fois 4 et le fois 3, le même mécanisme s'applique par-dessus le demi-décalage, ce qui explique que leur dernière colonne prenne la moitié du voisin avant de rembourser.
La somme de ce qui est ajouté et de ce qui est retiré est nulle. La méthode ne triche pas, elle réordonne.
L'erreur qu'on fait
Compléter à 10 au milieu, ou à 9 aux unités, décale le résultat de 1 par colonne concernée. L'erreur est régulière, donc invisible à l'œil, et c'est exactement le type d'écart que le contrôle par 9 laisse parfois passer.