Pair ou impair, et le bonus 5
Le bonus 5 est le reste de la division par deux, replacé au rang inférieur.
Cinq règles sur onze l'emploient : 5, 6, 7, 4 et 3. Ce sont les mêmes que pour la moitié.
Rappel constant : c'est le chiffre traité qui décide, jamais son voisin.
Je le fais avec toi
Multiplier par 5 revient à décaler d'un rang puis diviser par deux. Le chiffre de rang j se retrouve au rang j plus 1, où sa division par deux laisse, s'il est impair, une demi-unité de rang j plus 1, c'est-à-dire 5 au rang j.
Le test d'imparité porte donc sur le chiffre de rang j, alors que la moitié appliquée au rang j porte sur le chiffre de rang j moins 1. Les deux termes de la formule concernent deux chiffres différents, et c'est la source de l'essentiel des erreurs.
Pourquoi ça marche
Les cinq règles à bonus, 5, 6, 7, 4 et 3, sont exactement les cinq règles construites sur le facteur 5. Le bonus est la trace du demi-décalage, rien d'autre.
Aucune règle construite sur 10 seul, 2 seul, ou 10 moins quelque chose, n'a de bonus, parce qu'aucune ne divise par deux.
L'erreur qu'on fait
Appliquer le test au voisin produit une erreur de 5 fois une puissance de 10, donc un résultat plausible qui passe rarement le contrôle par 9. C'est la meilleure raison de faire ce contrôle systématiquement pendant l'apprentissage.