Le zéro invisible
Le zéro de tête n'a aucune valeur arithmétique. Il crée la colonne supplémentaire dans laquelle se déverse le dernier report.
Aucune règle ne s'en passe : les onze l'utilisent.
Je le fais avec toi
Un nombre à n chiffres multiplié par un seul chiffre donne au plus n plus 1 chiffres. Écrire un 0 devant crée exactement cette colonne, ni plus ni moins.
Pour les quatre règles en complément, 9, 8, 4 et 3, cette colonne fait davantage : c'est là que se solde l'emprunt, avec le moins 1 ou le moins 2 final.
Pourquoi ça marche
Sans cette colonne, le dernier report n'aurait pas de destination, et le solde des règles en complément n'aurait pas de support.
C'est aussi ce qui explique la troisième colonne de l'aide-mémoire. Dans la dernière colonne, le chiffre traité vaut 0 : tout terme qui dépend du chiffre s'annule, et il ne reste que les termes qui dépendent du voisin. La formule spéciale de la dernière colonne n'est donc pas une exception, c'est la formule générale appliquée à un chiffre nul.
L'erreur qu'on fait
N'en écrire aucun tronque le résultat à gauche. En écrire deux ne fausse rien, mais ajoute une colonne inutile qui produit toujours 0.